ÿþ<!DOCTYPE HTML PUBLIC "-//W3C//DTD HTML 4.0 Transitional//EN"> <HTML> <HEAD> <META HTTP-EQUIV="CONTENT-TYPE" CONTENT="text/html; charset=windows-1252"> <TITLE>angulos</TITLE> <META NAME="GENERATOR" CONTENT="OpenOffice.org 1.0.1 (Win32)"> <META NAME="CREATED" CONTENT="20021209;19014355"> <META NAME="CHANGED" CONTENT="20030102;12534431"> <LINK rel="stylesheet" href="estilo.css" type="text/css"> </HEAD> <CENTER><B><I><H1>Como medir ângulos entre dois astros</H1></I></B></CENTER> <P> <P> <CENTER><FONT color=#000000><A href="mailto:fernandovieira@rio.rj.gov.br">Fernando A. P. Vieira</A></FONT></CENTER><BR> <P align=right><A href="http://www.rio.rj.gov.br/planetario/arquivos/angulprn.htm" target=_blank><FONT color=white size=0><B>Versão para imprimir</B></FONT></A></P><BR>Para aqueles que observam o céu, às vezes é necessário conhecer a separação angular entre os astros. Apresentaremos abaixo três métodos:<BR><BR><BR><FONT color=#ff0000 size=+2><B>1- Com a mão</B></FONT><BR>A relação entre as separações dos dedos e o comprimento do braço esticado permite que sejam feitas estimativas dos ângulos. Por exemplo: o palmo equivale a uns 20 graus, a chave a uns 15 graus, os três dedos médios colocados lado a lado a 5 graus, etc. <BR><BR><BR><BR> <DD> <CENTER> <TABLE width="50%"> <TBODY> <TR> <TD vAlign=top align=left><IMG src="detangularima/dedos1.jpg" border=1> </TD></TR></TBODY></TABLE></CENTER><BR><BR><B></B><BR><BR> <DD>Atividade: Avaliação da separação angular entre estrelas. Teste o método acima com pares de estrelas listados abaixo.<BR><BR> <CENTER> <TABLE border=4> <TBODY> <TR bgColor=white> <TD vAlign=top align=left>Estrelas</TD> <TD vAlign=top align=left>Distâncias</TD></TR> <TR bgColor=white> <TD vAlign=top align=left>Sirius-Betelgeuse</TD> <TD vAlign=top align=left>27°</TD></TR> <TR bgColor=white> <TD vAlign=top align=left>Regulus-Denebola</TD> <TD vAlign=top align=left>24,5°</TD></TR> <TR bgColor=white> <TD vAlign=top align=left>Rigel-Betelgeuse</TD> <TD vAlign=top align=left>18,5°</TD></TR> <TR bgColor=white> <TD vAlign=top align=left>Hadar-Acrux</TD> <TD vAlign=top align=left>12°</TD></TR> <TR bgColor=white> <TD vAlign=top align=left>Acrux-Gacrux</TD> <TD vAlign=top align=left>6°</TD></TR> <TR bgColor=white> <TD vAlign=top align=left>Hadar-Rigel Kent</TD> <TD vAlign=top align=left>4,5°</TD></TR></TBODY></TABLE></CENTER><BR><BR>Podemos usar também o diâmetro aparente da Lua como referência; a Lua cheia mede cerca de 0,5°.<BR><BR><BR><BR> <FONT color=#ff0000 size=+2><B>2- Com a balestilha</B></FONT><BR>Este instrumento foi utilizado na Idade Média, e até um pouco depois por navegantes e astrônomos, para determinar a altura das estrelas em relação ao horizonte ou ângulo entre os astros.<BR><BR><BR><BR> <DD> <CENTER><IMG src="detangularima/balestia.jpg" border=0> </CENTER><BR><BR><B></B><BR><BR> <DD>A balestilha consistia de uma haste com comprimento de cerca de 80 centímetros denominada virote e, perpendicular a esta, uma outra haste um pouco menor, a soalha. O ângulo era determinado afastando-se ou aproximando-se a soalha ao longo do virote, de modo que as estrelas ficassem cada uma em uma das extremidades da soalha. Os ângulos eram gravados ao longo da soalha.<BR><BR>Atividade: Construção de uma balestilha sem peças móveis.<BR>Para construirmos a balestilha, será necessária uma régua de plástico com 30 centímetros de comprimento. Curve a régua com a ajuda de um barbante, como indicado na figura abaixo, e um sarrafo com 57,3 centímetros de comprimento. Fixe a régua no sarrafo com cola ou um pequeno parafuso. Para determinar o ângulo entre as duas estrelas, observe-as exatamente acima da escala da régua, com um dos olhos na extremidade oposta do sarrafo. A separação em centímetros irá corresponder à separação em graus. <BR><BR><BR><BR> <DD> <CENTER> <TABLE border=4> <TBODY></TBODY></TABLE> <TABLE width="30%"> <TBODY> <TR bgColor=black> <TD vAlign=top align=left><IMG src="detangularima/baltam1.jpg" border=0></TD> <TD vAlign=top align=left><IMG src="detangularima/baltam.jpg" border=0></TD></TR></TBODY></TABLE><IMG src="detangularima/bal11.jpg" border=0> </CENTER><BR><BR><B></B><BR><BR><FONT color=#ff0000 size=+2><B>3- Com um compasso</B></FONT><BR>Este método é muito prático e razoavelmente preciso; a incerteza fica em torno de 0,2 grau.<BR><BR> <P align=justify>Amarre cada uma das pontas de um barbante com cerca de 1,4 metro de comprimento em uma das pernas de um compasso, e dê um nó a uns 3 centímetros da dobra do barbante, de modo que o comprimento entre o nó e cada uma das pernas seja o mesmo. Para medir a separação angular entre dois astros, coloque o nó exatamente abaixo de um dos olhos e estique o barbante segurando pelo compasso. Aponte para as estrelas e separe as pernas do compasso até que suas extremidades "toquem" cada uma em uma das estrelas (medidas precisas exigem paciência nessa etapa). Talvez você precise de uma pequena lanterna para iluminar o compasso, a visualização das pontas do compasso fica mais fácil se as pontas forem pintadas de branco. Com uma régua milimetrada, meça a separação das pontas. O ângulo é obtido por: arco tangente S/L, onde "S" é a separação entre as pontas e "L" o comprimento entre o nó e as pernas do compasso. </P><BR><BR> <DD> <DD> <CENTER> <TABLE border=4> <TBODY></TBODY></TABLE> <TABLE width="10%"> <TBODY> <TR bgColor=black> <TD vAlign=top align=left><IMG src="detangularima/bal01200.jpg" border=0></TD> <TD vAlign=top align=left><IMG src="detangularima/bal09200.jpg" border=0></TD> <TD vAlign=top align=left><IMG src="detangularima/bregua22.jpg" border=0></TD></TR></TBODY></TABLE> <DD><BR><BR><BR></center> <BR><BR><B></B><BR><BR><FONT size=+1> Determinações de algumas distâncias</FONT> <p> Para avaliar a precisão deste método testamos em vários pares de estrelas com distâncias angulares diferentes. Foram feitas várias medidas de cada par e calculada a média e do desvio padrão.<p> <body lang=PT-BR style='tab-interval:35.4pt'> <div class=Section1> <p>A média é obtida por: <b><span style='font-size:13.0pt;mso-bidi-font-size:6.0pt'>&lt;<i>x</i>&gt; = &#931; <i>x</i></span></b><b><i><span style='font-size:7.0pt;mso-bidi-font-size:6.0pt'>i</span></i></b><b><span style='font-size:13.0pt;mso-bidi-font-size:6.0pt'> /N<o:p></o:p></span></b></p> <p> o desvio padrão é obtido por: <b><span style='font-size:13.0pt;mso-bidi-font-size:6.0pt'>&#963;</span></b><b><span style='font-size:14.0pt;mso-bidi-font-size:6.0pt'> = &#8730;{[ </span></b><b><span style='font-size:13.0pt;mso-bidi-font-size:6.0pt'>&#931;</span></b><b><span style='font-size:14.0pt;mso-bidi-font-size:6.0pt'> (&lt;<i>x</i>&gt; - <i>x</i></span></b><b><i><span style='font-size:7.0pt;mso-bidi-font-size:6.0pt'>i</span></i></b><b><span style='font-size:14.0pt;mso-bidi-font-size:6.0pt'>)</span></b><b><sup><span style='font-size:14.0pt;mso-bidi-font-size:6.0pt;font-family:"Times New \(W1\)"'>2</span></sup></b><b><span style='font-size:14.0pt;mso-bidi-font-size:6.0pt'>]/(</span></b><b><span style='font-size:13.0pt;mso-bidi-font-size:6.0pt'>N</span></b><b><span style='font-size:14.0pt;mso-bidi-font-size:6.0pt'>-1)}<o:p></o:p></span></b></p> <CENTER> <TABLE border=4> <TBODY> <TR bgColor=white> <TD vAlign=top align=left>Estrelas</TD> <TD vAlign=top align=left>Média das Distâncias medidas</TD> <TD vAlign=top align=left>Distância tabelada</TD> <TD vAlign=top align=left>Diferença entre dist. med. e tab.</TD> <TD vAlign=top align=left>Número de medidas</TD> <TD vAlign=top align=left>Desvio padrão</TD> </TR> <TR bgColor=white> <TD vAlign=top align=left>Achernar-Alfa Hidri (I) </TD> <TD vAlign=top align=left>5°8'53"</TD> <TD vAlign=top align=left>5°5'27"</TD> <TD vAlign=top align=left>+5'26"</TD> <TD vAlign=top align=left>20</TD> <TD vAlign=top align=left>3'46"</TD> <TR bgColor=white> <TD vAlign=top align=left>Canopus-Tau Puppis</TD> <TD vAlign=top align=left>4°35'38"</TD> <TD vAlign=top align=left>4°32'00"</TD> <TD vAlign=top align=left>+3'38"</TD> <TD vAlign=top align=left>21</TD> <TD vAlign=top align=left>2'48"</TD> <TR bgColor=white> <TD vAlign=top align=left>Achernar-Alfa Hidri (II)</TD> <TD vAlign=top align=left>5°7'32"</TD> <TD vAlign=top align=left>5°5'27"</TD> <TD vAlign=top align=left>+2'5"</TD> <TD vAlign=top align=left>15</TD> <TD vAlign=top align=left>4'22"</TD></TR> <TR bgColor=white> <TD vAlign=top align=left>Sirius-Delta Canis Majoris (I)</TD> <TD vAlign=top align=left>11°7'38"</TD> <TD vAlign=top align=left>11°4'45"</TD> <TD vAlign=top align=left>+2'53"</TD> <TD vAlign=top align=left>9</TD> <TD vAlign=top align=left>5'27"</TD></TR> <TR bgColor=white> <TD vAlign=top align=left>Sirius-Delta Canis Majoris (II)</TD> <TD vAlign=top align=left>11°4'58"</TD> <TD vAlign=top align=left>11°4'45"</TD> <TD vAlign=top align=left>+0'13"</TD> <TD vAlign=top align=left>5</TD> <TD vAlign=top align=left>6'32"</TD></TR> <TR bgColor=white> <TD vAlign=top align=left>Achernar-Alfa Hidri (III)</TD> <TD vAlign=top align=left>5°13'30"</TD> <TD vAlign=top align=left>5°5'27"</TD> <TD vAlign=top align=left>+8'3"</TD> <TD vAlign=top align=left>11</TD> <TD vAlign=top align=left>3'49"</TD></TR> <TR bgColor=white> <TD vAlign=top align=left>Sirius-Saiph </TD> <TD vAlign=top align=left>15°30'9"</TD> <TD vAlign=top align=left>15°38'6"</TD> <TD vAlign=top align=left>-7'57"</TD> <TD vAlign=top align=left>10</TD> <TD vAlign=top align=left>8'27"</TD></TR> <TR bgColor=white> <TD vAlign=top align=left>Sirius-Delta /Canis Majoris (III)</TD> <TD vAlign=top align=left>11°9'25"</TD> <TD vAlign=top align=left>11°4'45"</TD> <TD vAlign=top align=left>+4'40"</TD> <TD vAlign=top align=left>10</TD> <TD vAlign=top align=left>3'55"</TD></TR> <TR bgColor=white> <TD vAlign=top align=left>Alnitak-Mintaka</TD> <TD vAlign=top align=left>2°45'30"</TD> <TD vAlign=top align=left>2°44'41"</TD> <TD vAlign=top align=left>+0'49"</TD> <TD vAlign=top align=left>10</TD> <TD vAlign=top align=left>6'16"</TD> </TR></TBODY></TABLE></CENTER> </div> </body> <p>Obs. Nas determinações acima o valor de "L" foi de 63,1 cm.</P> <P> Conclusão: Os resultados superaram nossas expectativas. Em todas determinações as diferenças entre valores medidos e tabelados foram muito pequenas. <P align=justify>Se você está familiarizado com trigonometria esférica, poderá, com esse método, determinar as coordenadas (ascensão reta e declinação) dos planetas e da Lua. Medindo, para isso, as distâncias angulares entre esses astros e algumas estrelas, cujas coordenadas são conhecidas.</P><BR> <DD><BR><BR></B><BR><BR><BR></DD></CENTER></BODY></HTML>